Los objetos: su forma y posición

Nombres de los objetos y de las formas. ¿Qué transformaciones?

Cuando los objetos se introducen a partir de objetos del entorno cabe plantearse como discusión cuestiones que Freudenthal apunta en la cita que hemos reseñado en la presentación de este apartado. ¿Todos los objetos que tienen el mismo nombre tienen la misma forma ? ¿Todos los vasos tienen forma de cilindro o sólo algunos? ¿Qué características tienen que tener los vasos para que sean ejemplos de cilindros? ¿Qué transformaciones se pueden hacer en un vaso para que siga siendo vaso? ¿Se mantiene la forma de cilindro a lo largo de esa transformación?

Respuestas de algunos estudiantes de Magisterio (estudiantes para maestro) fueron las siguientes:

respuesta 3
{3} "Los vasos, al discriminar el profesor qué vasos son validos y cuales no, los niños buscarán diferencias entre los válidos y no válidos. Por ejemplo, de un vaso de tubo dirán que sí que es porque es liso y tiene los dos lados iguales. De uno de chupito dirán que sí, pero con dudas porque pueden pensar que todos los cilindros son largos".

respuesta 4

 

{4} "Un mismo ejemplo no siempre se corresponde con una misma forma geométrica; por ejemplo, los vasos son normalmente cilindros pero también podemos encontrar vasos cuadrados. Este hecho no tiene demasiada importancia en los vasos pero hay objetos que necesariamente deben tener una determinada forma geométrica".

Cabe señalar que en la respuesta {3} se está haciendo referencia a "los dos lados" para referirse a las dos caras del cilindro con forma de círculo. En la {4} se ha usado el término cuadrados para expresar prisma con base cuadrados. En el apartado ¿Cómo se usa el lenguaje? ¿Cómo se interpreta? incidimos también en ello. Dadas las dificultades que conlleva utilizar la terminología geométrica con precisión, para facilitar que los estudiantes expresen lo que van pensando, en muchas ocasiones sólo hacemos notar que se ha usado terminología del plano para el espacio o a la inversa, y expresamos lo que ha indicado el estudiante utilizando el vocabulario adecuado. En estos casos apuntamos también que uno de los propósitos que tenemos con la enseñanza de la geometría es que se vaya desarrollando el uso del lenguaje así como su manera de razonar para resolver determinadas cuestiones.

Siguiendo con la sesión de clase, se acentuó que hay muchos objetos con el mismo nombre en el contexto cotidiano que no tienen el mismo nombre en el contexto geométrico, porque todos ellos no tienen la misma forma. Y se hizo notar también que, de la misma manera, objetos que tienen el mismo nombre en un contexto geométrico, porque tienen la misma forma, pueden tener nombres diferentes en el contexto cotidiano. Por ejemplo, una lata de refresco, algunos troncos de árbol (pero no todos) y algunas columnas tienen la misma forma: tienen forma de cilindro.

El tronco de árbol con forma de cilindro lo utilizamos para destacar transformaciones permitidas (que se engorde por todos los lados por igual) y prohibidas (por ejemplo, que engorde más por la base) para que la forma considerada siguiera teniendo el mismo nombre que se le daba en el contexto cotidiano y en el geométrico.

Llamamos la atención sobre las transformaciones que se tendrían que hacer, por ejemplo, en los vasos, los troncos o las botellas, para que los que tienen forma que "se parece a la del cilindro", llegasen a tener su forma.

 

Respuestas que dieron estudiantes de Magisterio (estudiantes para maestro) cuando se les planteó la cuestión para que la respondieran en casa antes de que se tratara en clase fueron las siguientes:

respuesta 5

 

{5} "El tronco tiene que ser igual de gordo por ambos lados y ser recto y vertical.

Los cortes deben ser perpendiculares porque así de esta forma te salen dos pedazos cilindros con las mismas bases que el de partida".

respuesta 6

 

{6} "El tronco de de árbol, el niño dirá que no es un cilindro porque tiene ramas, pero si se cortan y se hacen las transformaciones pertinentes, sí que puede considerar que es un cilindro.
Así pues, se llegará a la conclusión de que un cilindro es una cosa más o menos larga, lisa, con las dos bases iguales y que no es hueco por dentro".

respuesta 7

 

{7} ¨¿Al serrar un tronco de árbol con dos cortes paralelos, podemos estar seguros de que obtenemos un cilindro?
Si yo hago dos cortes paralelos a un tronco, no puedo estar seguro de que obtendré otro cilindro ya que dependerá de la posición del tronco y de cómo sea el tronco.

Aquí estamos haciendo dos cortes paralelos y no vamos a obtener ningún cilindro, es decir, ninguno de los trozos va a ser un cilindro¨.

respuesta 8

 

{8} Cilindro. La botella no es un cilindro pero si cortamos en un determinado punto sí que lo conseguiríamos. Así el niño diría respecto a la botella que no es un cilindro porque la parte de arriba no es como la de abajo, es más estrecha. Así, si le dijéramos de cortar por un determinado punto de la botella sí que diría que es un cilindro (siempre imaginando que existe la base ya que un cilindro no es abierto como una tubería¨.

En relación con estas respuestas, cabe considerar, por un lado, el atributo "vertical" que se le asigna al cilindro en la respuesta {5}. Por otro, el atributo de que no es hueco por dentro, que se ha indicado para el cilindro en la respuesta {6}. Se hace notar la importancia que tiene que las formas se muestren en diferentes posiciones y con diferentes representaciones; así, si se incorporan atributos que vienen de la propia posición o representación (por ejemplo, los que se han indicado), al presentar ejemplos de todo tipo y en todas las posiciones estos atributos se descartarán como atributos críticos de la familia de sólidos que se considere.

Volviendo a los objetos y sus formas en un contexto geométrico, se puede subrayar que en la mayoría de los casos, para que los objetos reales tengan la forma de las familias de sólidos que se han introducido, hay que hacer transformaciones en ellos. Por ejemplo, cuando se da el bolígrafo como ejemplo de cilindro, además de especificar que todos los bolígrafos no tienen esa forma, para que algunos lo sean se tiene que cortar en ellos los extremos de manera que se obtengan dos círculos iguales como sección. En los vasos que aceptamos como ejemplos de cilindro porque es un tubo igual de grueso por todos los lados, hay que imaginar que no sólo está materializada la base. Tiene forma de cilindro porque en él están perfectamente delimitados los dos círculos iguales y paralelos y el ¨tubo¨que llamamos superficie cilíndrica.

Se puede continuar matizando los ejemplos que pueden ser ejemplos de la familia que se considere y discutiendo sobre las transformaciones que se tienen que hacer en algunos ¨que se parecen mucho¨ para que tengan la forma de la familia considerada.

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