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| Signos de naturaleza heterogénea para "comunicar". Niveles ¿Es o no es propiedad? ¿Son siempre, a veces o nunca? Las produccions que se incluyen en otras opciones de este apartado corresponden a tareas que se plantean a partir de objetos cotidianos o en un contexto de generar sólidos por diferentes procedimientos. Las que se incluyen aquí corresponden a cuestiones que se han planteado a estudiantes de Magisterio en un contexto matemático; en unas se explica si una familia o determinadas familias de sólidos cumplen o no una determinada propiedad; en otras se juzgan relaciones de inclusión, exclusión o solapamiento que existen entre determinadas familias de sólidos. En las respuestas cambian las propiedades o las familias de sólidos implicadas y en ellas se pueden utilizar razonamientos de diferente nivel. A partir de ellas exploramos los tipos de signos que se han utilizado (algunos se produjeron al tratar estas cuestiones en un contexto de construcción) y cómo se han integrado estos signos de distinto tipo que pertenecen a estratos del mismo o de diferente nivel. {1} En los prismas, ¿los ángulos del
polígono de las bases son iguales? No. Los ángulos
pueden ser más o menos grandes. No miden todos lo mismo.
{2} En los prismas, ¿los ángulos del
polígono de las bases son iguales? No. En los de bases regulares
sí, pero hay muchos en los que no. Por ejemplo {3} En sus vértices siempre se juntan 3 polígonos:
Es propiedad de los prismas, porque en todos los vértices siempre
se van a juntar dos caras laterales y la base {4} En sus vértices siempre se juntan 3 polígonos: Es propiedad de los prismas, porque en todos los vértices siempre se juntan 2 caras laterales y la base o dos aristas de la base y una lateral. También será propiedad de los cubos y de los ortoedros, porque éstos son prismas. Las pirámides no lo cumplen porque tienen vértices de dos tipos: los de la base y el ápice. Sólo la cumple el tetraedro. {5} En los prismas, ¿Sus ángulos de las caras son iguales?. No. Los de la base no tienen por qué ser = que los de las C.L. y también la base puede ser irregular Ej: .
{6} En los prismas que tienen todas las caras regulares,
¿se cumple que las aristas tienen como máximo dos medidas
diferentes? No. Tienen caras laterales iguales. {7} En los prismas que tienen todas las caras regulares, ¿se cumple que las aristas tienen como máximo dos medidas diferentes? Sí, Tienen caras laterales cuadrados. Luego todas las aristas tienen la misma medida. Pero dice como mucho, o sea, puede ser 1 medida o dos medidas, luego cabe esta posibilidad de que sean iguales. {8} Sus vértices son iguales: Los prismas
no la cumplen. {9} Sus vértices son iguales: Los prismas rectos no la cumplen porque el ángulo de la base puede ser distinto (los de las CL. miden 90º+90º en todos los vértices). Sólo se cumple en PRBR y en las familias PCR y el cubo, porque en todos estos el ángulo de los vértices (todos ellos) mide 180º más el ángulo de la base, que mide en todos lo mismo. En los convexos puede variar el ángulo de las CL. (son dos los que forman el vértice y todos no son rectos) y el de la base. Sus vértices no son iguales. 10} En los prismas, ¿su número de diagonales de las caras es n(n-2)? El número de diagonales de las caras de los prismas no viene dado por esa expresión sino por esta otra n(n-1). Como todas las familias que presentan son prismas, todas verificarán esta expresión y no la otra. {11} En los prismas, ¿su número de diagonales de las caras es n(n-2)? No la cumple ninguna familia de prismas. Es una propiedad específica de los antiprismas, no de los prismas. En los prismas es n(n-3) + 2n = n(n–3+2) = n(n–1). Porque tengo las diagonales de las dos bases (2xn(n–3)/2) y las de las caras laterales (2 por cada una y tengo n caras laterales). {12} ¿Todos los prismas de caras regulares son convexos? Sí. Todos son como los del dibujo primero.
{13} ¿Todos los prismas de caras regulares son convexos? Los PCR no pueden ser prismas cóncavos, pues éstos tienen por lo menos un ang. mayor de 180° en sus bases. Como todos los áng. de las bases no pueden ser mayores de 180°, pues no podría cerrarse el polígono, no puede tener los ángulos iguales. Las bases ya no pueden ser regulares, luego aunque las caras laterales lo fuesen (que sí que puede ser) el prisma ya no es PCR. {14} Los prismas convexos son de caras regulares no es verdadero porque en los convexos hay que tengan C. R., y muchos otros, por ejemplo, de base irregular, que no lo son. También pueden ser de caras laterales irregulares .
{15} Los primas de caras laterales regulares son siempre prismas de bases regulares No se cumple. Es a veces.
{16} Los prismas son a veces poliedros arquimedianos
porque éste lo es porque tiene caras regulares de más de
una clase y vértices iguales {17} Las pirámides son deltaedros a veces, porque
el tetraedro lo es. Tiene caras triángulos equilateros, pero ésta
{18} Las pirámides son a veces deltaedros ya que hay pirámides cuya base no es un triángulo. Cuando la base sea un triángulo equilátero y las caras laterales también, entonces la pirámide será también deltaedro. {19} Las pirámides no son nunca poliedros arquimedianos porque las pirámides tienen vértices distintos y cuando son iguales (el tetraedro) las caras son iguales también. {20} Las pirámides no son nunca poliedros arquimedianos. La única pirámide que tiene vértices iguales es el tetraedro y éste no tiene caras de varios tipos. Las únicas pirámides que tienen caras regulares son la triangular la cuadrada y la pentagonal. La primera ya no verifica la de caras de dos tipos. Las otras dos no verifican la de vértices iguales.
{21} Los prismas son a veces poliedros de Catalan.
Éste es porque tiene caras iguales que no son regulares y los vértices
no son iguales. Éstos no son {22} Los prismas son a veces poliedros de Catalan. Sólo el romboedro de caras rombos tiene caras iguales que no son regulares. Sólo ese prisma es poliedro de Catalan. De las respuestas anteriores se puede constatar la gran variedad de símbolos y de diagramas que se usan para registrar información, para comunicar y para generalizar. En estas respuestas hay símbolos visuales/verbales; abreviaturas/sin abreviaturas (para los nombres de las familias de prismas); variables/constantes (se consideran prismas concretos y un prisma n-agonal, esto es, que su base tiene n lados); expresiones (para diagonales de las caras); símbolos propios (para los ángulos y las diagonales, ... para negar cuantificadores); operaciones (+, x) … En algunas respuestas, por ejemplo en {14} y {20}, se han apoyado en diagramas de árbol para representar las familias que se establecen al considerar clasificaciones sucesivas. Para los sólidos, hay representaciones en perspectiva o se indica la forma de la base y la de las caras laterales, o se dibuja el polígono de la base y se especifica si el prisma es recto u oblicuo. También se hace referencia a ellos nombrándolos o describiéndolos. O, como por ejemplo en {6} y {16} que se muestra un dibujo en perspectiva acompañado de información verbal que aclara las ambigüedades que pudiera haber con el dibujo. Se puede centrar la atención en la diversidad de los sistemas de representación que tenemos para "comunicar" un sólido, algunas pueden ser incluso representaciones propias. Podemos fijarnos ahora en cómo se puede “traducir" una representación a otra y las características del sólido que remarcan. Cabe centrar la atención en las diferentes maneras de responder a una misma propiedad o relación y estudiar las formas de ‘codificar’ usadas por los estudiantes en las respuestas que han dado. Podemos observar que en algunas se mantienen signos que se produjeron en el contexto de la construcción, que sugieren el procedimiento de generar ejemplos de prismas, por ejemplo, el de la respuesta {5}, y que la manera de codificar de los estudiantes o la selección de los signos que han usado para dar sus respuestas les ha ayudado en su manera de razonar. Para cada par de respuestas dadas a una misma cuestión cabe examinar también el modo particular de combinación en que se presentan signos cuya materia de la expresión es heterogénea (enunciado verbal, expresión, diagrama de árbol, figura geométrica), signos que se han usado para ¨comunicar¨ y para desarrollar actividad matemática. |
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o cuando la base
tiene un entrante.
, y éste
no lo es
