Signos de naturaleza heterogénea para "comunicar". Niveles

Determinando propiedades de los prismas. Contando caras, vértices y aristas

En esta opción vamos a fijarnos en el tipo de signos que se han usado en una producción de un estudiante de Magisterio ante la tarea que se planteó en clase para que se resolviera en casa, en la que se pedía que se hiciera un sumario de lo que se había tratado en las sesiones anteriores prescindiendo de los grupos de propiedades o las estrategias utilizadas para hallar características numéricas de las familias de sólidos que ya se habían recopilado también en otra sesión. Apuntamos que se centrara la atención, por un lado, en expresar aquello que se tenía en cuenta antes de empezar a enumerar propiedades y, por otro, en distinguir niveles de preguntas y respuestas en relación con contar los elementos que componen los prismas. Las propiedades de los prismas y las diferentes estrategias usadas para determinar los elementos de los prismas se han incluido en el apartado ¿Qué propiedades cumplen? Las ideas ¨erróneas¨ que expresaron algunos estudiantes en el desarrollo de las clases se indican en ¿Se aplican ideas que se tienen que revisar?

A partir de esta producción, en la que se presentan sumarios de resultados, se puede centrar la atención en cómo se usan símbolos y diagramas para comunicar (se usan símbolos de diferentes tipos), para registrar y organizar información (se usa la tabla) y para generalizar.

Resulta interesante fijarse en los signos de diferentes tipos, que se usan en los puntos 1 y 2. Aparecen signos visuales y verbales. En el punto 1 hay diferentes términos simples que tienen una letra asociada (por ejemplo, C para el número de caras, H para altura), algunos de los cuales constituyen símbolos propios de la geometría, socialmente establecidos. Cabe señalar que los ángulos y las diagonales se nombran en general; no se distinguen los diferentes tipos de ángulos que pueden considerarse en los sólidos. Pero dado el comentario que se apunta para las caras, vértices y aristas, "ƒstos siempre son los primeros elementos", lo que se quiere subrayar es que en primer lugar se enumeran propiedades de los elementos que componen los prismas y, después, propiedades respecto de los otros elementos: los ángulos, las diagonales y la altura.

En el punto 2, en primer lugar se habla de ejemplos representativos. A los ejemplos que ha apuntado cabría añadir los prismas cóncavos para que en el listado de propiedades que se elabore para los prismas no se incluyan propiedades de los prismas convexos.

A continuación, se indican signos diferentes para referirnos a los sólidos, puntualizando que podemos elegir la manera de comunicar los sólidos y que no hace falta saber dibujar bien. En el sumario se han integrado los signos de diferente naturaleza a partir de los cuales se puede comunicar un sólido, símbolos que corresponden a estratos de signos de diferente nivel.

Por un lado se han nombrado las subfamilias de dónde se seleccionan los ejemplos representativos; nombres que se han formado con el nombre de la familia general, un adjetivo que hace referencia a la subfamilia establecida con criterios visuales y otros grupos de palabras que se refieren a la subfamilia delimitada según la regularidad de las bases.

Por otro lado, se indican como representaciones de ellos abreviaturas y otros signos que se produjeron en la clase y que fueron aceptados como una posible manera de "nombrarlos" porque escribir todo el nombre completo o dibujarlos en perspectiva, en repetidas ocasiones resultaba bastante tedioso.

Cabe subrayar que entre los signos que se utilizan en esta producción hay signos socialmente aceptados (el nombre, el dibujo en perspectiva, el desarrollo plano, ...), otros que se habían producido en el contexto de clase y que se habían "institucionalizado" para uso en este contexto y otros de producción propia que sirvieron al estudiante para comunicar, haciendo un sumario, la actividad matemática desarrollada en algunas clases.

Queremos enfatizar ahora algo que no se ha recogido en esta producción; en la actividad matemática que se produce en los primeros niveles puede haber signos que hacen referencia a los procedimientos de generar sólidos o a las maneras de obtener representaciones, y otros signos que se han producido a partir de la percepción, centrando la atención en unas características y no en otras. Hay que considerar los estratos de sistemas de signos que los estudiantes producen en su propia actividad matemática aunque no hayan sido "institucionalizados" ni siquiera en el contexto de clase. Estos signos pueden abandonarse cuando se dominan los signos de un estrato superior y puede ser que durante un tiempo convivan y se integren unos con otros aunque estén en estratos de diferente nivel.

Cabe señalar que en los signos que se proponen en la producción para referirse a los ejemplos representativos de prisma hay uno que remite a un desarrollo de un prisma. Ahora bien, éste contiene todas las caras del prisma unidas lado a lado y todo en una pieza de manera que a partir de él se puede reproducir el prisma. Si el signo que se había aceptado en clase como representación del prisma pentagonal, signo en el que un pentágono está bordeado de pentágonos, se quiere convertir en un desarrollo de un prisma pentagonal, se le ha de añadir otro pentágono igual al que ya tiene y la altura de los rectángulos que bordean al pentágono tendría que ser la misma en todos ellos. Además, con este desarrollo comunicaríamos un prisma pentagonal recto concreto, pero no un prisma oblicuo.

Traducir una representación a otra pueden ser actividades nada evidentes y espontáneas para los alumnos. En la enseñanza se ha de prestar atención a ello. E incluso en este caso, puede ser que algún estudiante se "encierre"o bloquee para el uso de determinados símbolos, por ejemplo, para el dibujo en perspectiva, aunque en la enseñanza se hayan utilizado ampliamente.

Volviendo de nuevo a la producción, en el punto 4 puede notarse que se usan símbolos para registrar y organizar información (se usa la tabla) y para generalizar; se pasa de prismas concretos, en los que el polígono de las bases tiene un número de lados que es un dato concreto a un prisma general, que se nombra como prisma n-agonal. Se han indicado variables/constantes, expresiones verbales y simbólicas que incluyen operaciones y el signo igual. En el texto que se indica en la producción se subraya los diferentes niveles de respuesta que pueden darse y los signos que se pueden utilizar en cada caso en la respuesta.

Actividades como ésta en la que se determinan los elementos de los prismas (el número de caras, vértices y aristas) en diferentes niveles, muestran también que signos de diferente naturaleza (fiigura geométrica, gráfico, enunciado en lenguaje verbal, expresión algebraica) no sólo son indispensables para fines de comunicación sino que son necesarias para ir avanzando en la progresiva matematización. En esta producción se parte de modelos concretos de prisma, se considera un prisma concreto del que ya no se dispone del modelo, y luego se generaliza a un prisma n-agonal, para eo que se elaboran enunciados verbales y simbólicos. Como ha subrayado la estudiante, es más dificil trabajar en un nivel simbólico "porque aparecen números y letras, y a veces se cometen errores".

Con relación al punto 4 también cabe señalar que en el sumario se señala que la actividad es interesante para que el niño sepa interpretar errores. Cabe indicar ahora lo que se subrayó en clase en relación con las ideas "erróneas" que expresaron los estudiantes y que posiblemente pueda dotar de sentido la interpretación que hizo el estudiante al respecto.

Recalcamos que había que dar a los estudiantes la posibilidad de que expresaran sus propias ideas, aunque éstas se estimen "erróneas" al considerarlas en el nivel de la clase; de esta manera se pueden revisar y perfilar. Cuando el profesor las interpreta desde el sentido que le dan los que la expresan, en muchas ocasiones se les dota de sentido. En vez de culpabilizar por las ideas "erróneas" que expresan los estudiantes, un maestro tiene que intentar averiguar "lo que hay detrás" de ellas: se basa la respuesta en una subfamilia, se tiene en cuenta sólo parte del sólido en vez de todo él, se tiene en cuenta la posición, no se interpretan los convenios implicados en la representación, se tienen dificultades de visión espacial,...

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