Signos de naturaleza heterogénea para "comunicar". Niveles

Características numéricas de los poliedros regulares

En el apartado ¿Qué relaciones se establecen? se determinan las características numéricas de los poliedros regulares (número de caras, de vértices, de aristas, orden de los vértices y número de lados de las caras) y su disposición en el espacio y se introduce la relación de dualidad que hay entre pares de poliedros regulares: el cubo y el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, y el tetraedro consigo mismo.

En este apartado vamos a fijarnos en los signos que han utilizado dos estudiantes de Magisterio para reflejar la disposición espacial de los elementos de los poliedros regulares y para expresar las relaciones que existen entre los elementos de pares de poliedros regulares duales. Estas relaciones permiten rellenar la tabla de las características numéricas de los poliedros regulares cuando se conocen sólo algunos elementos.

producción 8

{8} Esta tabla puede rellenarse gracias a las equivalencias de los POLIEDROS DUALES. Los poliedros duales son los que para un tamaño de aristas, pueden introducirse uno dentro del otro de forma que:

-  por cada arista de uno hay una arista perpendicular del otro.

-- por cada cara de uno hay un vértice del otro

-  por cada vértice de uno hay una cara del otro.

Los poliedros duales también coinciden en que el orden de los vértices de uno son la forma de las caras del otro.

Estas dualidades quedan reflejadas en la tabla con una flecha

Son poliedros duales

- El tetraedro de sí mismo (4 caras, 4 vértices, 6 aristas, v.o3 y caras Δ.

El cubo y el octaedro

...

El icosaedro y dodecaedro

...

Sabiendo las características de un poliedro dual, surgen las características del otro poliedro.

 

 

producción 9

{9} Relaciones:

– El tetraedro es dual de sí mismo porque el número de caras y el número de vértices se corresponden, al igual que el orden de vértices y el nž de lados de sus caras.

– El cubo y el octaedro son duales porque el número de caras del cubo se corresponde con el número de vértices del octaedro y viceversa. También porque tienen el mismo número de aristas: 4 del cuadrado + 4 del otro cuadrado + 4 de las que suben. Al igual que con el número de orden de vértices y el número de lados de las caras también se corresponden entre los dos.

– El dodecaedro y el icosaedro son duales porque el número de caras del dodecaedro se corresponde con el número de vértices del icosaedro y viceversa. También tienen el mismo número de aristas: 10 del pentágono +5 que suben+ las del zig-zag.

Son duales porque también se intercambian el orden de los vértices con el nde lados de sus caras entre sí.

Lo que queremos destacar de estas respuestas es que en ellas se expresan verbalmente de manera bastante precisa características que tiene el concepto de dualidad en el mundo de los poliedros regulares, concepto que conlleva gran dificultad. Respecto de la producción {8} cabe precisar que la característica que se señala en primer lugar para los poliedros duales, sólo se verifica cuando se consideran los poliedros regulares duales. Al continuar con otras familias de poliedros, por ejemplo con los poliedros arquimediano (tienen caras regulares de más de una clase y vértices iguales), ya no se verifica que los pares de poliedros duales se pueden inscribir uno en otro y viceversa. Además, el dual de un poliedro arquimediano no pertenece a esta familia. Lo que sí que es una propiedad del concepto de dualidad de poliedros es que los poliedros duales intercambian el número de caras y de vértices y en ellos el número de aristas coincide. Además intercambian también el orden de los vértices de uno con el número de lados de las caras del otro.

Expresar verbalmente las relaciones que ligan el orden de los vértices de un poliedro con el número de lados de las caras de su dual, conlleva gran dificultad. En la producción {8} se indica que "el orden de los vértices de uno son la forma de las caras del otro"; en la producción {9}, en la que se muestra fluidez a la hora de expresar las características de la dualidad de poliedros regulares, al enunciar la relación entre orden de los vértices y número de lados de las caras para el cubo y el octaedro, orden de los vértices se nombra como "número de orden de vértices".

En ambas respuestas en su conjunto están integrados signos que pertenecen a estratos de diferente nivel de abstracción. Además de características del concepto de dualidad de poliedros que se expresan verbalmente, en la tabla se representan visualmente las relaciones entre elementos de pares de poliedros regulares duales, y entre el tetraedro consigo mismo. En la producción 8 se hace referencia a ello y se dice que se han representado con una flecha. En la tabla también aparecen otros signos que se produjeron en el contexto de la construcción de los poliedros regulares y que se mantienen aún y son de gran utilidad para hallar las características numéricas que es imprescindible conocer para poder rellenar la tabla completamente aplicando las relaciones de dualidad que existen entre pares de poliedros regulares duales. Lo signos que se han producido para contar estos elementos reflejan cómo están dispuestos en el espacio y que se han contado separádolos por niveles y de manera estructurada.

Como hemos indicado en otra opción de este apartado, algunos de estos signos se "institucionalizan" para el contexto de la clase y otros se quedan como signos de producción propia. A partir de producciones como éstas subrayamos de nuevo que hay que considerar los estratos de sistemas de signos que los estudiantes producen con el fin de dotar de sentido a su propia actividad de clase, aunque sean signos que a otros estudiantes no les resulten válidos. Son los propios estudiantes los que abandonan naturalmente los signos que proceden de estratos inferiores cuando ya no requieren de ellos para desarrollar su actividad.

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